Question

8．在Rt△ABC中，作一个矩形DEGF，其中AC=3cm，BC=4cm，那么矩形DEGF的面积最大是3．

Answer 1

分析 设EG=x，则BG=$\frac{4}{3}$x，CE=4-$\frac{4}{3}$x，DE=5-$\frac{16}{12}$x，利用矩形的面积公式即可得到矩形DEFG的面积和x的函数关系，利用函数的性质即可求出其最大值．

解答 解：∵四边形DEFG是矩形，
∴DE∥FG，
∴△CDE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{BC}$，
设EG=x，长方形DEGF的面积为y，
则BG=$\frac{4}{3}$x，CE=4-$\frac{4}{3}$x，DE=5-$\frac{16}{12}$x，
矩形面积S=x（5-$\frac{16}{12}$x）=-$\frac{16}{12}$（x-$\frac{6}{5}$）²+3，
∴当x=$\frac{6}{5}$时，矩形的面积最大为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用，以及二次函数求最值的问题，只要能熟练掌握，便能很容易的解决问题．