Question

12．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO=40°，则下列结论：
①∠BOE=$\frac{1}{2}$（180-a）°；
②OF平分∠BOD；
③∠POE=∠BOF；
④∠POB=2∠DOF．
其中正确的个数有多少个？（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由于AB∥CD，则∠ABO=∠BOD=40°，利用平角等于得到∠BOC=（180-a）°，再根据角平分线定义得到∠BOE=$\frac{1}{2}$（180-a）°；利用OF⊥OE，可计算出∠BOF=$\frac{1}{2}$a°，则∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD，即OF平分∠BOD； 利用OP⊥CD，可计算出∠POE=$\frac{1}{2}$a°，则∠POE=∠BOF； 根据∠POB=90°-a°，∠DOF=$\frac{1}{2}$a°，可知④不正确．

解答 解：①∵AB∥CD，
∴∠BOD=∠ABO=a°，
∴∠COB=180°-a°=（180-a）°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠COB=$\frac{1}{2}$（180-a）°，故①正确；
②∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=90°-$\frac{1}{2}$（180-a）°=$\frac{1}{2}$a°，
∴∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴OF平分∠BOD，所以②正确；
③∵OP⊥CD，
∴∠COP=90°，
∴∠POE=90°-∠EOC=$\frac{1}{2}$a°，
∴∠POE=∠BOF； 所以③正确；
∴∠POB=90°-a°，
而∠DOF=$\frac{1}{2}$a°，所以④错误．
故选：C．

点评 本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等．