Question

9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为10$\sqrt{3}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，
（2）根据菱形OCED的面积=2△OCD的面积=△ACD的面积=$\frac{1}{2}$AD•CD=10$\sqrt{3}$，证出AC=2CD，AD=$\sqrt{3}$CD，得出$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$CD•CD=10$\sqrt{3}$，求出CD，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠ADC=∠ABC=∠BAD=90°，
∴OD=OC，
∴四边形OCED是菱形；
（2）解：∵四边形OCED是菱形，
∴菱形OCED的面积=2△OCD的面积=△ACD的面积=$\frac{1}{2}$AD•CD=10$\sqrt{3}$，
∵∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAC=30°，
∴AC=2CD，AD=$\sqrt{3}$CD，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$CD•CD=10$\sqrt{3}$，
解得：CD=2$\sqrt{5}$，
∴AC=2CD=4$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键，记住矩形的对角线把矩形分成面积相等的4个三角形，属于中考常考题型．