Question

4．如图，等边△ABC的边长为2，且DB=DC，∠BDC=120°，现有∠MDN=60°，其两边分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，将∠MDN绕着D点旋转，使得M，N始终在边AB和边AC上．试判断在这一过程中，△AMN的周长是否发生变化，若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

分析 不变．要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．

解答 解：△AMN的周长没有发生变化，理由如下：
∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在△BDF和△CND中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BF=CN}\\{∠FBD=∠DCN}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，
∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠BDM+∠BDF=60°，
在△DMN和△DMF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DM=MD}\\{∠FDM=∠MDN}\\{DF=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMN≌△DMF（SAS）
∴MN=MF，
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4．

点评 此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．