Question

14．若△ABC的三边满足a²+b²+c²+200=12a+16b+20c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 将等式a²+b²+c²+200=12a+16b+20c变形得（a-6）²+（b-8）²+（c-10）²=0，从而求出a、b、c的值，然后判断△ABC的形状并求其面积．

解答 解：∵△ABC的三边满足a²+b²+c²+200=12a+16b+20c
∴a²+b²+c^2-12a-16b-20c+200=0
∴（a²-12a+36）+（b²-16a+64）+（c²-20c+100）=0
∴（a-6）²+（b-8）²+（c-10）²=0
∴a=6，b=8，c=10，
又∵10²=8²+6²，即：c²=a²+b²，
∴△ABC是直角三角形，且c为斜边
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$=$\frac{1}{2}×6×8$=24
即：△ABC的面积为24

点评 本题考查了因式分解的应用问题，解题的关键是能够将等式a²+b²+c²+200=12a+16b+20c变形为（a-6）²+（b-8）²+（c-10）²=0，并根据非负数的和为0 求出三边的长．