Question

4．如图所示，有一批形状大小相同的铁片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，现在想用这批铁片裁出正方形铁片，这里有两种不同的设计方案：第一种：正方形两边分别落在△ABC的两条直角边上，第二种：正方形一边落在斜边AB上，通过计算说明哪种方案能裁出面积最大的正方形铁片？

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出AC=4，对于方案一：如图1，设正方形CGFE的边长为x，则BE=3-x，证明△BEF∽△BCA，利用相似比可计算出x=$\frac{12}{7}$；对于方案二：如图2，设正方形HGFE的边长为y，作CM⊥AB于M，交HG于N，利用面积法计算出CM=$\frac{12}{5}$，再证明△CHG∽△CBA，利用相似比可计算出y=$\frac{60}{37}$，然后比较x和y的大小即可判断哪种方案能裁出面积最大的正方形铁片．

解答 解：∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，则AC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
方案一：如图1，设正方形CGFE的边长为x，则BE=3-x，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴$\frac{EF}{CA}$=$\frac{BE}{BC}$，即$\frac{x}{4}$=$\frac{3-x}{3}$，解得x=$\frac{12}{7}$；
方案二：如图2，设正方形HGFE的边长为y，作CM⊥AB于M，交HG于N，
∵$\frac{1}{2}$CM•AB=$\frac{1}{2}$•BC•AC，
∴CM=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∵HG∥AB，
∴△CHG∽△CBA，
∴$\frac{HG}{AB}$=$\frac{CN}{CM}$，即$\frac{y}{5}$=$\frac{\frac{12}{5}-y}{\frac{12}{5}}$，解得y=$\frac{60}{37}$，
∵x=$\frac{12}{7}$=$\frac{60}{35}$＞$\frac{60}{37}$=y，
∴第一种方案能裁出面积最大的正方形铁片．

点评 本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质计算相应线段的长．