Question

16．已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O．求证：
（1）∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°；
（2）AC=DB．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质的性质得出AD∥BC，AB=DC，∠ADC=∠ABC=90°，∠BAD=∠BCD，得出∠BAD+∠ABC=180°，∠BAD=90°，即可得出结论；
（2）由SAS证明△ABC≌△DCB，得出对应边相等即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=DC，∠ADC=∠ABC=90°，∠BAD=∠BCD，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BCD=90°，
即∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°；
（2）在△ABC和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}&{\;}\\{∠ABC=∠DCB}&{\;}\\{BC=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AC=DB．

点评 本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决（2）的关键．