Question

20．如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOE：∠BOE=3：1，OF平分∠AOD，
（1）∠AOC=∠AOF-30°，求∠EOF；
（2）射线OM平分∠AOF，求∠MOE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据对顶角相等，以及邻补角的定义，可得关于∠AOC、∠AOF的方程组，解方程可求∠EOF；
（2）根据角平分线的定义和已知条件可得∠MOE是平角的$\frac{3}{4}$，从而得到∠MOE的度数．

解答 解：（1）依题意有：
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC+2∠AOF=180°}\\{∠AOC=∠AOF-30°}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=70°}\\{∠AOC=40°}\end{array}\right.$，
∵∠BOD=∠AOC=40°，∠DOE：∠BOE=3：1，
∴∠DOE=30°，
∴∠EOF=∠DOE+∠DOF=∠DOE+∠AOF=100°；

（2）∵射线OM平分∠AOF，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOF，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOD，
∴∠AOM=$\frac{1}{4}$∠AOD，
∵∠DOE：∠BOE=3：1，
∴∠MOD=$\frac{3}{4}$∠AOD，∠DOE=$\frac{3}{4}$∠DOB，
∴∠MOE=∠MOD+∠DOE=$\frac{3}{4}$∠AOD+$\frac{3}{4}$∠DOB=$\frac{3}{4}$（∠AOD+∠DOB）=$\frac{3}{4}$∠AOB，
∴∠MOE的度数为180°×$\frac{3}{4}$=135°．

点评 本题考查了角平分线的定义，对顶角相等以及邻补角的定义，关键是方程思想的运用．