Question

11．如图所示，将矩形ABCD沿AE折叠得到△AFE，且点D恰好落在DC上．
（1）求证：△ADF∽△FCE；
（2）若tan∠CEF=2，求tan∠AEB的值．

Answer 1

分析 （1）因为△AEF是由△AEB翻折得到，推出∠AFB=∠B=90°，推出∠AFD+∠EFC=90°，∠EFC+∠FEC=90°，推出∠AFC=∠FEC，由此即可证明．
（2））由tan∠FEC=$\frac{FC}{EC}$=2，推出CF=2EC，设EC=a，则FC=2a，EF=EB=$\sqrt{5}$a，由△ADF∽△FCE，得$\frac{CF}{AD}$=$\frac{EC}{DF}$，即$\frac{2a}{a+\sqrt{5}a}$=$\frac{a}{DF}$，推出DF=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a，根据tan∠AEB=$\frac{AB}{EB}$计算即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AD=BC，∠D=∠C=∠B=90°，
∵△AEF是由△AEB翻折得到，
∴∠AFB=∠B=90°，
∴∠AFD+∠EFC=90°，∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠AFC=∠FEC，∵∠D=∠C，
∴△ADF∽△FCE．

（2）∵tan∠FEC=$\frac{FC}{EC}$=2，
∴CF=2EC，设EC=a，则FC=2a，EF=EB=$\sqrt{5}$a，
∵△ADF∽△FCE，
∴$\frac{CF}{AD}$=$\frac{EC}{DF}$，
∴$\frac{2a}{a+\sqrt{5}a}$=$\frac{a}{DF}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a，
∴AB=CD=DF+CF=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$a，
∴tan∠AEB=$\frac{AB}{EB}$=$\frac{\frac{5+\sqrt{5}}{2}a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查矩形的性质、翻折变换、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．