Question

已知关于x的方程x²﹣2（m+1）x+m²=0，

（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；

（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．

Answer 1

【考点】根的判别式；根与系数的关系．

【专题】计算题；压轴题；判别式法．

【分析】（1）要使原方程没有实数根，只需△＜0即可，然后可以得到关于m的不等式，由此即可求出m的取值范围；

（2）根据（1）中求得的范围，在范围之外确定一个m的值，再根据根与系数的关系求得两根的平方和．

【解答】解：（1）∵方程没有实数根

∴b²﹣4ac=[﹣2（m+1）]²﹣4m²=8m+4＜0，

∴，

∴当时，原方程没有实数根；

（2）由（1）可知，时，方程有实数根，

∴当m=1时，原方程变为x²﹣4x+1=0，

设此时方程的两根分别为x₁，x₂，

则x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，

∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂=16﹣2=14，

∴当m=1时，原方程有两个实数根，这两个实数根的平方和是14．

【点评】此题要求学生能够用根的判别式求解字母的取值范围，熟练运用根与系数的关系求关于两个根的一些代数式的值．