Question

4．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？
（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732，$\sqrt{3}$=1.732，$\sqrt{2}$=1.414）

Answer 1

分析 过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD+DC求出AC的长即可．

解答 解：过B作BD⊥AC，
∵∠BAC=75°-30°=45°，
∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°，
由勾股定理得：BD=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×20=10$\sqrt{2}$（海里），
在Rt△BCD中，∠C=15°，∠CBD=75°，
∴tan∠CBD=$\frac{CD}{BD}$，即CD=10$\sqrt{2}$×3.732=52.77048，
则AC=AD+DC=10$\sqrt{2}$+10$\sqrt{2}$×3.732=66.91048≈67（海里），即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．

点评 此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．