题目内容
11．根据所给材料完成第（2）、第（3）两小题．（1）基础知识：如图a，正方形ABCD的一个顶点B在直线EF上，且AE⊥EF，CF⊥EF，显然，我们可以证明△ABE≌△BCF．
（2）实践运用：如图b，锐角△ABC的顶点C是直线l上方的一个动点，运动过程中始终保持∠ACB=45°，A、B点在直线l上，现分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F作直线l的垂线，垂足为M、N．请问在C点的运动过程中，线段EM+FN的值是否改变，说明你的理由．
（3）变化拓展：当图b中的AB=1，其他条件不变时，随着C点的变化，△ABC的面积也随之变化．请直接写出△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$．
分析 （1）先判断出∠BAE=∠CBF，进而得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△AME≌△CGA，得出EM=AG，同理△BNF≌△CGB，得出FN=BG，进而得出EM+FN=AB．
（3）先判断出点C在运动过程中，它的运动轨迹，进而确定面积最大时，点C的位置，即可求出最大值．
解答 g解：（1）∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BFC=90°}\\{∠BAE=∠CBF}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF，
（2）在C点的运动过程中，线段EM+FN的值是不发生改变，是定值为AB；
理由：如图b，
过C作CG⊥AB于G，
∵FM⊥AB，
∴∠EMA=∠AGC=90°，
∴∠EAM+∠AEM=90°，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴AE=AC，∠CAE=90°，
∴∠CAG+∠EAM=90°，
∴∠AEM=∠CAG，
在△AME和△CGA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMA=∠AGC=90°}\\{∠AEM=∠CAG}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△CGA，
∴EM=AG，
同理得，△BNF≌△CGB，
∴FN=BG，
∴EM+FN=AG+BG=AB．
（3）如图c，
先以AB为斜边在直线l上方作等腰直角三角形，直角顶点为O，再以点O为圆心，OA为半径作圆，点C的运动轨迹是直线l上方的⊙O的弧上，
过点C作CH⊥AB，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB×CH=$\frac{1}{2}$CH，要△ABC的面积最大，则CH最大，即CH过点O，
在等腰直角三角形AOB中，AB=1，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴CH最大=CO+OH=OA+OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
∴S△ABC最大=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$．
故答案为$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$．．
点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积的公式，极值的确定，判断三角形确定是解本题的关键，面积取极值时点C的位置是解本题的难点．（第三问，也可以说成AC=BC时，三角形ABC的面积最大，此时，计算比较麻烦）
如图，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=120°，∠BAE=80°，那么∠CAE=20°．
已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（-1，0），过x轴上一点E作EG⊥x轴交抛物线于点G，交直线AC于点F．
如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，如果BD=CE．试证明AB=AC．
如图△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ACD，延长AD、BC交于点E，则DE的长是4$\sqrt{3}$-4．
