Question

1．四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，点E在BD上，点F在射线CD上，且AE=EF，∠AEF=90°
（1）如图①，若∠ABE=∠AEB，AG⊥BD，垂足为G，求证：BG=GE；
（2）在（1）的条件下，猜想线段CD，DF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图②，若∠ABE=a，∠AEB=135°，CD=a，求DF的长（用含a，α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的三线合一即可得出结论；
（2）先利用同角的余角相等判断出∠CBP=∠FEQ，等量代换得出BC=EF，进而得出，△BCP≌△EFQ，得出CP=FQ，再判断出，△CPD≌△FQD即可得出结论；
（3）先判断出tanα=$\frac{AQ}{BQ}$，再判断出△ABQ≌△BCP，得出BQ=CP，再判断出△DQF∽△DPC，得出比例式，代换即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AG⊥BD，
∴BG=GE；
（2）如图①，过点C作CP⊥BD于P，过点F作FQ⊥BD交BD的延长线于Q，
∴∠BPC=∠DPC=∠FQE=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
∵∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB+∠CBD=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEQ=90°，
∴∠CBP=∠FEQ，
∵AB=BC，AE=EF，AB=AE，
∴BC=EF，
在△BCP和△EFQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPC=∠EQF}\\{∠CBP=∠FEQ}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△EFQ，
∴CP=FQ，
在△CPD和△FQD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PDC=QDF}\\{∠CPD=FQD}\\{CP=FQ}\end{array}\right.$，
∴△CPD≌△FQD，
∴CD=DF，
（3）如图②，连接AF，过点C作CP⊥BD，
∵∠AEB=135°，
∴∠AED=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FED=45°=∠AED，
∵AE=EF，
∴AQ=FQ，EQ⊥AF，
∵CP⊥BD，
在Rt△ABQ中，tan∠ABE=tanα=$\frac{AQ}{BQ}$
∴CP∥FQ，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCP+∠CBP=90°，
∴∠ABQ=∠BCP，
在△ABQ和△BCP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AQB=∠BPC=90°}\\{∠ABQ=∠BCP}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△BCP，
∴BQ=CP，
∵CP∥FQ，
∴△DQF∽△DPC，
∴$\frac{DF}{CD}=\frac{QF}{PC}$，
∵QF=AQ，PC=BQ，
∴$\frac{DF}{CD}=\frac{AQ}{BQ}$，
∴DF=$\frac{AQ}{BQ}•CD$=tanα•a=a•tanα．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直的定义，同角的余角相等，判断出△BCP≌△EFQ是解本题的关键，是一道比较好的中考常考题．