Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）求证：4DE²=BD•BA．

Answer 1

分析 （1）利用EC为⊙O的切线，ED也为⊙O的切线可求EC=ED，再求得EB=EC，EB=ED可知点E是边BC的中点；
（2）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD=45°，由于AC为直径得到∠ADC=90°，于是得到∠A=∠ADC-∠OCD=90°-45°=45°，根据∠ACB=90°，于是得到结论△ABC是等腰直角三角形；
（3）由AC是⊙O是直径，得到CD⊥AB，由于∠ACB=90°，证得△BCD∽△BAC，得到$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即BC²=BD•BA，由（1）可知BC=2DE，即可得到结论．

解答 证明：（1）连接OD，
∵DE为切线，
∴∠EDC+∠ODC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠OCD=90°，
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴EC=ED，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°．
∴∠B=∠BDE，
∴ED=EB．
∴EB=EC，
即点E是边BC的中点，

（2）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD=45°，
∵AC为直径∴∠ADC=90°，
∴∠A=∠ADC-∠OCD=90°-45°=45°，
又∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（3）∵AC是⊙O是直径，
∴CD⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即BC²=BD•BA，
由（1）可知BC=2DE，
∴4DE²=BD•BA．

点评 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．