Question

11．某经销店为某工厂代销一种建筑材料（代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是220元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）据（2）中的函数关系式说明，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元．

Answer 1

分析 （1）紧紧围绕“当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加5吨”列代数式就可以得出结论，
（2）由售价是x元，降价为（260-x），所以销售量是增加7.5×$\frac{260-x}{10}$吨，那么售出的金额是x[（$\frac{260-x}{10}$×7.5）+45]，根据利润=每件的利润×销售额，可以求出函数的解析式．
（3）由（2）的结论转化为顶点式就可以求出售价和利润的最大值．

解答 解：（1）由题意，得
45+7.5×$\frac{260-220}{10}$=75；
答：当每吨售价是220元时，此时的月销售量是75吨；

（2）由题意，得
y=（x-100）（45+$\frac{260-x}{10}$×7.5），
y=-$\frac{3}{4}$x²+315x-24000；

（3）∵y=-$\frac{3}{4}$x²+315x-24000；
∴y=-$\frac{3}{4}$（x-210）²+9075，
∴当x=210时，y_最大=9075，
答：每吨材料售价定为210元时，该经销店获得的月利润最大．，

点评 本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．