Question

已知：Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边AC=2，BC=4．如图（1），BC在x轴上，点A在反比例函数y=

6

x

第一象限的分支上，AB与y轴交于点D，记四边形ACOD面积为S₁；如图（2）点B在反比例函数y=

6

x

第一象限的分支上，AC在x轴上，AB与y轴交于点E，记四边形BCOE面积为S₂．试比较S₁与S₂的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,反比例函数系数k的几何意义

专题：

分析：解法一：根据相似三角形△BOD∽△BCA的性质、反比例函数系数k的几何意义推知S₁=S₂．
解法二：根据反比例函数的性质，可以得到点A和点B的坐标，分别计算出S₁，S₂的值，然后比较它们的大小．

解答：解：解法一：∵AC⊥x轴，AC=2，A在y=

6

x

上，
∴OC=3，
∴OB=1，
∴OD∥AC，
∴△BOD∽△BCA，
∴

S△BOD

S△BCA

=(

BO

BC

)2=(

1

4

)2=

1

16

．
∵S_△ABC=

1

2

×4×2=4
∴S_△BOD=

1

16

×4=

1

4

，
∴S₁=4-

1

4

=

15

4

．
同理：BC=4，OC=

6

4

=

3

2

，
∴OA=2-

3

2

=

1

2

，
∴

S△AOE

S△ABC

=(

1 2

2

)2=

1

16

∴S_△AOE=

1

16

×4=

1

4

，
∴S₂=4-

1

4

=

15

4

∴S₁=S₂；

解法二：∵AC=2，点A在y=

6

x

上，
∴OC=3，A（3，2），
∴OB=4-3=1，
∴B（-1，0）．
设直线AB：y=kx+b（k≠0），则

3k+b=2 k+b=0

，
解得∴

k= 1 2 b= 1 2

，即OD=

1

2

，
∴S_△BOD=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，
∴S₁=S_△ABC-S_△BOD=4-

1

4

=

15

4

．
同理可得：如图（2）中，B（

3

2

，4），A（-

1

2

，0），设直线AB：y=kx+b（k≠0），则

3 2 k+b=4 1 2 k+b=0

，
解得

k=2 b=1

，即OE=1，
∴S_△AOE=

1

2

×

1

2

×1=

1

4

，
∴S₂=S_△ABC-S_△AOE=4-

1

4

=

15

4

．
∴S₁=S₂．

点评：本题考查的是反比例函数的综合题，其中涉及到了相似三角形的判定与性质，反比例函数系数k的几何意义．解题时，根据反比例函数的性质，结合图形计算面积．