Question

2．已知△ABC的两边是关于x的方程x²+mx+2-$\frac{m}{2}$=0的两个实数根，第三边长为5，当m为何值时，△ABC是等腰三角形？

Answer 1

分析 先根据题中所给方程求出△ABC其中两边的长，又△ABC是等腰三角形，分情况讨论即可得出答案．

解答 解：∵△ABC的两边是关于x的方程x²+mx+2-$\frac{m}{2}$=0的两个实数根，
∴x=$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}+2m-8}}{2}$或$\frac{-m-\sqrt{{m}^{2}+2m-8}}{2}$，
①当$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}+2m-8}}{2}$=5时，解得m=-6，
②当$\frac{-m-\sqrt{{m}^{2}+2m-8}}{2}$=5时，由①可知此方程无解，
③当$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}+2m-8}}{2}$=$\frac{-m-\sqrt{{m}^{2}+2m-8}}{2}$时，解得m=-4或m=2，
m=-4，解得x=2，三边为2，2，5构不成三角形；
m=2，解得x=-1，不合题意．
综上所知当m=-6时，三边为1，5，5，△ABC是等腰三角形．

点评 本题考查了一元二次方程的实际运用，等腰三角形的性质、解一元二次方程及三角形三边关系的知识，解出两边长，分类探讨是解决问题的关键．