Question

如图，在直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0），将线段OP₀按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂；如此下去，得到线段OP₃，OP₄，…，OP_n（n为正整数），则点P₂₀₁₃的坐标为（　　）

• A、（-

  2

  •22013，

  2

  •22013）
• B、（-

  2

  •22012，-

  2

  •22012）
• C、（0，2²⁰¹³）
• D、（-

  2

  •22013，-

  2

  •22013）

Answer 1

考点：坐标与图形变化-旋转

专题：规律型

分析：根据各象限点的坐标特征和坐标轴上点的坐标特征，由OP₁=2得到点P₁的坐标为（

2

，

2

），由OP₂=2²得到点P₂的坐标为（0，2²），同样由OP₃=2³得点P₃的坐标为（-

2

•2²，

2

•2²），由OP₄=2⁴，则点P₄的坐标为（-2⁴，0），由OP₅=2⁵得到点P₅的坐标为（-

2

•2⁴，-

2

•2⁴），每8个点一循环，由于
2013=251×8+5，则点P₂₀₁₃的坐标为在与点P₅一样，在第三象限，然后利用OP₂₀₁₃=2²⁰¹³，和第三象限角平分线上点的坐标特征易得点P₂₀₁₃的坐标．

解答：解：点P₀的坐标为（1，0），
OP₁=2，则点P₁的坐标为（

2

，

2

），
OP₂=2²，则点P₂的坐标为（0，2²），
OP₃=2³，则点P₃的坐标为（-

2

•2²，

2

•2²），
OP₄=2⁴，则点P₄的坐标为（-2⁴，0），
OP₅=2⁵，则点P₅的坐标为（-

2

•2⁴，-

2

•2⁴），
而2013=251×8+5，
所以点P₂₀₁₃的坐标为在与点P₅一样，在第三象限，
而OP₂₀₁₃=2²⁰¹³，
所以点P₂₀₁₃的坐标为（-

2

•2²⁰¹²，-

2

•2²⁰¹²）．
故选B．

点评：本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了点的坐标表示和规律型问题的解决方法．