Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），若反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y=k₂x+b．
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（2）求△OEF的面积；
（3）请直接写出不等式k₂x+b-$\frac{{k}_{1}}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）由点B、D的坐标结合矩形的性质即可得出点C的坐标，由中点的性质即可得出点A的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k值，由此即可得出反比例函数解析式；由点F的横坐标、点E的纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点E、F的坐标，再由点E、F的坐标利用待定系数法即可求出直线EF的解析式；
（2）通过分割图形并利用三角形的面积公式即可求出结论；
（3）观察函数图象，根据两函数图象的上下关系结合交点坐标即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵D（0，4），B（6，0），
∴C（6，4），
∵点A为线段OC的中点，
∴A（3，2），
把A（3，2）代入y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0），得：k₁=6，
∴反比例函数为y=$\frac{6}{x}$，
把x=6代入y=$\frac{6}{x}$得y=1，则F点的坐标为（6，1）；
把y=4代入y=$\frac{6}{x}$得4=$\frac{6}{x}$，解得：x=$\frac{3}{2}$，则E点的坐标为（$\frac{3}{2}$，4）．
把F（6，1）、E（$\frac{3}{2}$，4）代入y=k₂x+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}{k}_{2}+b=4}\\{6{k}_{2}+b=1}\end{array}\right.$得：k₂=-$\frac{2}{3}$，b=5，
∴直线EF的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+5；

（2）过点E作EG⊥OB于点G
∵点E、F都在反比例函数图象上
∴S_△EOG=S_△OBF，
∴S_△EOF=S_梯形EFBG，
∵E（$\frac{3}{2}$，4），F（6，1），
∴EG=4，FB=1，BG=$\frac{9}{2}$，
∴S_△EOF=S_梯形EFBG=$\frac{1}{2}$（1+4）×$\frac{9}{2}$=$\frac{45}{4}$；
（3）不等式k₂x+b-$\frac{{k}_{1}}{x}$＜0，可变形为-$\frac{2}{3}$x+5＜$\frac{6}{x}$．
观察函数图象可发现：
当0＜x＜$\frac{3}{2}$或x＞6时，一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+5的图象在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象的下方，
∴-$\frac{2}{3}$x+5-$\frac{6}{x}$＜0的解集为：0＜x＜$\frac{3}{2}$或x＞6．

点评 本题考查了矩形的性质、反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，求出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．