Question

如图，某防洪指挥部发现长江边一处长100米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：

3

．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题

专题：

分析：（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽FG的长；同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH-AH求出AF的长．
（2）已知梯形AFED的上下底和高，易求得其面积，梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．

解答：解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．         
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行等于EG．                                          
故四边形EGHD是矩形．                                      
∴ED=GH．                                                
在Rt△ADH中，
AH=DH=8（米）．                         
在Rt△FGE中，
i=

1

3

=

EG

FG

，
∴FG=

3

EG=8

3

（米）．                                       
∴AF=FG+GH-AH=8

3

+3-8=8

3

-5（米）；

（2）∵S_梯形ADEF=

(3+8 3 -5)×8

2

=（32

3

-8）（米²），
∴加宽部分的体积V=S_梯形ADEF×坝长=（32

3

-8）×100=（3200

3

-800）（米³）．
答：完成这项工程需要土石（3200

3

-800）米³．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．