Question

3．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D．已知AC=9，cosC=$\frac{3}{5}$．
（1）求线段AE的长；
（2）求sin∠DAE的值．

Answer 1

分析 （1）先在Rt△ABC中利用∠C的余弦计算出BC=15，然后根据斜边上的中线性质求AE；
（2）先在Rt△ADC中利用∠C的余弦计算出CD=$\frac{27}{5}$，则可得到DE=CE-CD=$\frac{21}{10}$，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义求解．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵cosC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
∴BC=$\frac{5}{3}$×9=15，
∵点E是斜边BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{15}{2}$；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
在Rt△ADC中，∵cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴CD=$\frac{3}{5}$×9=$\frac{27}{5}$，
∵点E是BC的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{15}{2}$，
∴DE=CE-CD=$\frac{15}{2}$-$\frac{27}{5}$=$\frac{21}{10}$，
在Rt△ADE中，sin∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{\frac{21}{10}}{\frac{15}{2}}$=$\frac{7}{25}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活由于勾股定理、互余关系和三角函数关系．