Question

6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转得△ACD（其中O的对应点是D），记旋转角为α，∠ABO为β，请依题意在备用图上画出旋转后的位置并解答下列问题：
（1）当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（2）当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DH⊥OA于H．由DH∥OB，可得$\frac{DH}{OB}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AH}{OA}$，列出方程即可解决问题；
（2）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-α），由∠ABO+∠ABC=90°，可得β+$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°，推出α=2β；

解答 解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．

∵A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，AB=5，
∵DH∥OB，
∴$\frac{DH}{OB}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AH}{OA}$，
∴$\frac{DH}{4}$=$\frac{3}{5}$=$\frac{AH}{3}$，
∴DH=$\frac{12}{5}$，AH=$\frac{9}{5}$，
∴OH=OA-AH=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴D（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

（2）如图2中，

∵BC∥x轴，
∴BC⊥OB，
∴∠CBO=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∵∠ABO+∠ABC=90°，
∴β+$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°，
∴α=2β．

点评 本题考查作图-旋转变换、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．