Question

16．在平面直角坐标系中，一次函数的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，与x轴交于B点，与y轴交于A点，若点Q在直线AB上，点P是坐标系中一点．
（1）画出图形，并求∠ABO的度数；
（2）当△OBQ为等腰三角形时，求点Q的坐标；
（3）当以O、B、Q、P为顶点的四边形是菱形时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出A、B两点坐标，可得OA、OB的长，可得tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由此即可解决问题；
（2）分三种情形讨论①O为等腰三角形的顶点．②B为等腰三角形的顶点．③Q为等腰三角形的顶点；
（3）分两种情形讨论①当OB为菱形的对角线时，易知P₂（$\sqrt{3}$，-1）．②当OB为菱形的边时，根据平移的性质解决问题即可；

解答 解：（1）一次函数的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2的图象如图1所示，

∵一次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，与x轴交于B点，与y轴交于A点，
∴A（0，2），B（2$\sqrt{3}$，0），
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°．

（2）如图2中，

①当OQ=BQ时，点Q的横坐标为$\sqrt{3}$，
x=$\sqrt{3}$时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{3}$+2=1，
可得Q₁（$\sqrt{3}$，1），
②OB=OQ时，OB=OQ₂=2$\sqrt{3}$，∠OBQ₂=∠OQ₂B=30°，
易知Q₂（-$\sqrt{3}$，3）．
③当BQ=OB时，可得Q₃（2$\sqrt{3}$-3，$\sqrt{3}$），Q₄（2$\sqrt{3}$+3，-$\sqrt{3}$），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（$\sqrt{3}$，1）或（-$\sqrt{3}$，3）或（2$\sqrt{3}$-3，$\sqrt{3}$），Q₄（2$\sqrt{3}$+3，-$\sqrt{3}$）．

（3）如图3中，

①当OB为菱形的对角线时，易知P₂（$\sqrt{3}$，-1）．
②当OB为菱形的边时，由（2）可得Q₁（2$\sqrt{3}$-3，$\sqrt{3}$），Q₃（2$\sqrt{3}$+3，-$\sqrt{3}$），
向左平移2$\sqrt{3}$分别得到P₁（-3，$\sqrt{3}$），P₃（3，-$\sqrt{3}$），
综上所述，满足条件的点P坐标为（$\sqrt{3}$，-1）或（-3，$\sqrt{3}$）或（3，-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查一次函数综合题、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．