Question

5．抛物线y=ax²+bx-8与x轴交于A、B，与y轴交于C，D为抛物线的顶点，AB=2，D点的横坐标为3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t，△DHN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，Q为抛物线上一点，连接GN、NQ、AF、GF，若NG=NQ，NG⊥NQ，且∠AGN=∠FAG，求GF的长．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，连接OD，根据S=S_△OND+S_△ONH-S_△OHD计算即可．
（3）如图2中，延长FG交OB于M，只要证明△MAF≌△MGB，得FM=BM．设M（m，0），列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-8与x轴交于A、B，与y轴交于C，D为抛物线的顶点，AB=2，D点的横坐标为3，
∴A（2，0），B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b-8=0}\\{16a+4b-8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+6x-8；

（2）如图1中，连接OD．抛物线顶点D坐标（3，1），H（0，-2）．

∵S=S_△OND+S_△ONH-S_△OHD=$\frac{1}{2}$×t×1+$\frac{1}{2}$×t×2-$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{3}{2}$t-3．
∴S=$\frac{3}{2}$x-3；

（3）如图2中，延长FG交OB于M．

∵OH=OA，
∴∠OAH=∠OHA=45°，
∵FM∥OH，
∴∠MGA=∠OHA=∠MAG=45°，
∴MG=MA，
∵∠FAG=∠NGA，
∴∠MAF=∠MGN，
在△MAF和△MGN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMF=∠GMB}\\{AM=MG}\\{∠MAF=∠MGB}\end{array}\right.$，
∴△MAF≌△MGB，
∴FM=BM．设M（m，0），
∴-（-m²+6m-8）=4-m，
解得m=1或4（舍弃），
∴FM=3，MG=1，
∴GF=FM-MG=2．

点评 本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．