Question

13．体育课上，老师用绳子围成一个周长30m的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD，设边AB的长为x（单位：m），矩形ABCD的面积为S（单位：m²）．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）边AB的长取何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是多少？
（3）若矩形ABCD的面积为50m²，且AB＜AD，请求出此时AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据长方形的面积公式求出S与x之间的函数关系式．
（2）根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）根据矩形ABCD的面积为50平方米，即S=50，即可列出一元二次方程求解．

解答 解：（1）根据题意得：边AB的长为xm，
则AD=$\frac{30-2x}{2}$=15-x，
∴S=x（15-x）=-x²+15x；
（2）S=-x²+15x=-（x-$\frac{15}{2}$）²+$\frac{225}{4}$，
∴当边AB的长取7.5米时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是$\frac{225}{4}$平方米；
（3）当S=50时，
-x²+15x=50，
整理得x²-15x+50=0，
解得x₁=5，x₂=10，
当AB=5时，AD=10；
当AB=10时，AD=5，
∵AB＜AD，
∴AB=5，
故当矩形ABCD的面积为50平方米时AB的长为5米．

点评 本题主要考查了二次函数的应用，对于长方形的面积公式要熟记．注意本题AB＜AD，因此可根据这个条件舍去不合题意的解．