Question

如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在圆O上，且∠AOC=30°，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与圆O相交于点Q．如果QP=QO，则∠OCP的度数是

 

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Answer 1

考点：圆周角定理

专题：分类讨论

分析：分类讨论：如图1，设∠QOC=x，则∠QOP=x+30°，由QO=QP得到∠QPO=∠QOP=x+30°，再根据三角形外角性质得∠QCO=∠COP+∠CPO=x+60°，而OQ=OC，所以∠OQC=∠OCQ=x+60°，然后根据三角形内角和定理得x+x+60°+x+60°=180°，解得x=20°，再利用∠OCP=∠QOC+∠OQC进行计算即可；
利用同样的方法，解决如图2，如图3的情况．

解答：解：如图1，

设∠QOC=x，则∠QOP=x+30°，
∵QO=QP，
∴∠QPO=∠QOP=x+30°，
∴∠QCO=∠COP+∠CPO=30°+x+30°=x+60°，
∵OQ=OC，
∴∠OQC=∠OCQ=x+60°，
∴x+x+60°+x+60°=180°，解得x=20°，
∴∠OCP=∠QOC+∠OQC=20°+20°+60°=100°；
如图2，

设∠QPO=x，
∵PQ=QO，
∴∠QOP=∠QPO=x，
∴∠CQO=2x，
而OC=OQ，
∴∠C=2x，
∵∠AOC=∠APC+∠C，
∴x+2x=30°，解得x=10°，
∴∠OCP=2x=20°；
如图3，

设∠QPO=x，
∵PQ=QO，
∴∠QOP=∠QPO=x，
∴∠Q=180°-2x，
∵OQ=OC，
∴∠C=180°-2x，
∵∠OPQ=∠C+∠POC，
∴180°-2x+30°=x，解得x=70°，
∴∠OCP=180°-2×70°=40°，
综上所述，∠OCP的度数为20°、40°或100°．
故答案为：20°、40°或100°．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．