Question

如图，△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，点M为劣弧BC上任意一点，且∠AMC=60°．
（1）若BC=6，求△ABC的面积；
（2）若点D为AM上一点，且BD=DM，判断线段MA、MB、MC三者之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：（1）根据圆周角定理得到∠ABC=∠AMC=60°，加上AB=AC，则可判断△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质计算其面积；
（2）先判断△BDM为正三角形得到BD=BM，由∠ABC=∠DBM=60°得到∠ABD=∠CBM，则可根据“SAS”判断△ABD≌△CBM，所以AD=CM，于是MA=MD+AD=MB+MC．

解答：解：（1）∵∠ABC=∠AMC=60°，
而AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴△ABC的面积=

3

4

BC²=

3

4

×36=9

3

；

（2）MA=MB+MC，理由如下：
∵BD=DM，∠AMB=∠ACB=60°，
∴△BDM为正三角形，
∴BD=BM，
∵∠ABC=∠DBM=60°，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBM-∠DBC，
∴∠ABD=∠CBM，
在△ABD与△CBM 中，

AB=CB ∠ABD=∠CBM BD=BM

，
∴△ABD≌△CBM（SAS），
∴AD=CM，
∴MA=MD+AD=MB+MC．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质以及三角形全等的判定与性质．