Question

4．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）若∠1=60°，求∠3的度数；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
（3）若AB=6，AD=12，试求△BC′F的面积．

Answer 1

分析 （1）由翻折变换的定义得到∠BEF=∠2；由矩形的性质得到AD∥BC，进而得到∠2=∠1=60°，求出∠3即可解决问题；
（2）根据矩形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠1=∠2．根据折叠的性质可得∠BEF=∠2，等量代换得到结论；
（3）根据勾股定理得到BE=$\frac{15}{2}$，得到BF=BE=$\frac{15}{2}$，求得C′F=CF=$\frac{9}{2}$，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠1=60°，
根据折叠的性质可得：∠BEF=∠2=60°，
∴∠3=180°-∠BEF-∠2=180°-60°-60°=60°；

（2）△BEF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠1，
根据折叠的性质可得：∠BEF=∠2，
∴∠BEF=∠1，
∴△BEF是等腰三角形；

（3）∵BE=DE，
∴AE=AD-DE=12-DE=12-BE，
∵AB²=BE²-AE²，即6²=BE²-（12-BE）²，
∴BE=$\frac{15}{2}$，
∴BF=BE=$\frac{15}{2}$，
∴C′F=CF=$\frac{9}{2}$，
∵BC′=AB=6，∠C′=∠C=90°，
∴S_△BC′F=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$．

点评 此题考查了矩形的性质，折叠的性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．