Question

如图2，△ABC与△DEA是两个全等的等腰三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G，BF≠CG．

（1）图中有哪几对不全等的相似三角形，请把他们表示出来．
（2）根据图1两位同学对图形的探索，试探究BF、FG、GC之间的关系，并证明．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）直接根据相似三角形判定定理找出所有不全等的相似三角形的个数；
（2）方法（一）把△ABF、△AGC分别沿AD、AE折叠，利用三角形全等的知识证明∠FPG=∠B+∠C=90°，进而可以证明BF、FG、GC之间的关系；
方法（二）标出∠1、∠2、∠3、∠4，把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，再利用三角形全等的知识证明∠ACP+∠ACB=90°，进而可以证明BF、FG、GC之间的关系．

解答：解：（1）共有3对．
△GAF∽△G AB；
△FAC∽△FGA；
△ABG∽△FAC；
（或△GAF∽△G AB∽△FAC）

（2）证明方法（一）

∵把△ABF、△AGC分别沿AD、AE折叠，
∴△ABF≌△APF，△ACG≌△APG，
∵B、C两点重合，
∴BF=FP，CG=GP，∠FPG=∠B+∠C=90°
在Rt△PFG中，GF²=PG²+PF²FG²=BF²+GC²．

或证明方法（二）把△ABF旋转至△ACP，

得△ABF≌△ACP，
∴∠1=∠4，AF=AP，CP=BF，∠ACP=∠B，∠1+∠3=45°，
∴∠4+∠3=45°，∠2=∠4+∠3=45°，
在△AFG和△AGP中，

AF=AP ∠2=∠PAG AG=AG

，
∴△AFG≌△AGP（SAS），
∴FG=GP，∠ACP+∠ACB=90°，
在Rt△PGC中，GF²=CG²+CP²FG²=BF²+GC²．

点评：本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定，三角形全等的判定与性质；解答本题的关键是熟练掌握旋转知识，全等三角形的证明．