Question

点A、B分别交两条平行线m、n上任意两点，在直线n上取点C，使BC=kAB，连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．
（1）如图1，当k=1时，线段EF与BE的数量关系是

 

．
（2）如图2，当k=1时，且∠ABC=90°，则线段EF与BE的数量关系是

 

．
（3）如图3，若∠ABC=90°，k≠1，问线段EF与BE有何数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先以E为圆心，以EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM，进而得出△AEB≌△MEF，即可得出答案；
（2）同理可证得△MAE≌△ABE，进而得出答案；
（3）首先过点E作EM⊥m、EN⊥AB，垂足为M、N，证明△MEF∽△NEB即可tan∠BAC=

EN

AN

=

BC

AB

=k，从而求解．

解答：（1）证明：如图1，以E为圆心，以EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM．
∴EM=EA，
∴∠EMA=∠EAM． 
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB． 
∴∠CAB=∠ACB． 
∵m∥n，
∴∠MAC=∠ACB，∠FAB=∠ABC．
∴∠MAC=∠CAB． 
∴∠CAB=∠EMA． 
∵∠BEF=∠ABC，
∴∠BEF=∠FAB． 
∵∠AHF=∠EHB，
∴∠AFE=∠ABE． 
在△AEB和△MEF中，

∠CAB=∠EMA ∠ABE=∠AFE EA=EM

∴△AEB≌△MEF（AAS）． 
∴EF=EB；
（2）证明：如图2，在直线m上截取AM=AB，连接ME．
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB．
∵∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵m∥n，
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，∠FAB=90°．
∵AE=AE，
∴△MAE≌△ABE． 
∴EM=EB，∠AME=∠ABE． 
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠BEF=180°．
∴∠ABE+∠EFA=180°，
又∵∠AME+∠EMF=180°，
∴∠EMF=∠EFA． 
∴EM=EF．
∴EF=EB． 
（3）解：如图3，过点E作EM⊥m、EN⊥AB，垂足为M、N．
∴∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°．
∵m∥n，∠ABC=90°，
∴∠MAB=90°． 
∴四边形MENA为矩形．
∴ME=NA，∠MEN=90°．
∵∠BEF=∠ABC=90°．
∴∠MEF=∠NEB． 
∴△MEF∽△NEB． 
∴

ME

EN

=

EF

EB

，
∴

AN

EN

=

EF

EB

．
在Rt△ANE和Rt△ABC中，tan∠BAC=

EN

AN

=

BC

AB

=k，
∴

EB

EF

=k，
∴EF=

1

k

EB．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△MEF∽△NEB进而得出tan∠BAC=

EN

AN

=

BC

AB

=k是解题关键．