Question

6．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，点E是CD的中点，连结AE，AC，且AC=AD，AB=AE．
（1）求证：CA平分∠BCE；
（2）若AD∥BC，CD=2，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出AE⊥CD，CE=DE，由HL证明Rt△ABC≌Rt△AEC，得出∠BAC=∠EAC，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质和全等三角形的性质得出∠BAC=∠EAC=∠DAE，由平行线的性质得出∠BAD=90°，求出∠BAC=30°，由直角三角形的性质得出AD=AC=2BC=2，由勾股定理得出AB=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，即可得出四边形ABCD的周长．

解答 （1）证明：∵点E是CD的中点，AC=AD，
∴AE⊥CD，CE=DE，
∴∠AEC=90°=∠B，
在Rt△ABC和Rt△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL），
∴∠BAC=∠EAC，
∴CA平分∠BCE；
（2）解：∵AC=AD，点E是CD的中点，
∴∠DAE=∠CAE，CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=1，
∵Rt△ABC≌Rt△AEC，
∴∠BAC=∠EAC，BC=CE=1，
∴∠BAC=∠EAC=∠DAE，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠BAD=180°-∠B=90°，
∴∠BAC=30°，
∴AD=AC=2BC=2，
∴AB=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=$\sqrt{3}$+1+2+2=5+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．