Question

1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，∠ACB=90°，原点O是斜边AB的中点，直角边AC、BC的长分别是一元二次方程x²-14x+48=0的两个根（AC＜BC），将Rt△ABC沿着AE折叠，使点C落在x轴上的点D处．
（1）求点D的坐标．
（2）求折痕AE所在直线的解析式．
（3）若点P是射线AE上一个动点，在坐标平面内，是否存在一点M，使得以P、E、D、M为顶点，DE为底的直角梯形面积为8？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程可求得AC和BC的长，由勾股定理可求得AB的长，再结合折叠的性质可求得OD的长，则可求得D点坐标；
（2）可证明△BED∽△BAC，利用相似三角形的性质可求得DE，则可求得E点坐标，利用待定系数法可求得直线AE的解析式；
（3）可设M（x，0），则可表示出P点坐标，从而可表示出PM和DM的长，由梯形的面积可得到关于x的方程，可求得x的值，则可求得M点的坐标．

解答 解：
（1）解方程x²-14x+48=0，可得得x=6或x=8，
∵AC＜BC，
∴AC=6，BC=8．
在Rt△ABC中，AB=10，
∵AD=AC=6，AO=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴OD=AD-AO=1，
∴D（1，0）；

（2）在Rt△BED中，∠EDB=90°，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠EBD=∠ABC，
∴△BED∽△BAC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{ED}{AC}$．
∴ED=3，
∴E（1，3），
设直线AE的解析式为y=kx+b，
把A、E坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}-5k+b=0\\ k+b=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；

（3）存在．
∵四边形PEDM是以DE为底的直角梯形，
∴点M在x轴上，且PM⊥x轴，
设M（x，0）（x＞-5），则P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$），
∵点P在射线AE上，
∴PM=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，DM=|x-1|，
∵E（1，3），
∴DE=3，
∵S_梯形PEDM=8，
∴$\frac{1}{2}$（DE+PM）•DM=8，即$\frac{1}{2}$（3+$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$）|x-1|=8，整理可得（11+x）|x-1|=32，
当点M在点D的左侧时，则（11+x）（1-x）=32，解得x=-7（舍去）或x=-3，此时M点坐标为（-3，0）；
当点M在点D的右侧时，则（11+x）（x-1）=32，解得x=-5-2$\sqrt{17}$（舍去）或x=-5+2$\sqrt{17}$，此时M点的坐标为（-5+2$\sqrt{17}$）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（-3，0）或（$2\sqrt{17}-5，0$）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及一元二次方程的解法、直角三角形的性质、待定系数法、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得AD的长是解题的关键，在（2）中求得E点坐标是解题的关键，在（3）中用M的坐标表示出梯形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．