Question

操作：如图①在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD内部，延长AF交CD于点G．易知FG=GC．
探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段GF与GC相等吗？请说明理由．
拓展：如图③，将图①中的正方形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，若AB=3，AD=4，则△AGD的周长为

 

．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：求出EF=BE=CE，推出∠EFC=∠ECF，推出∠EFG=∠ECG，相减即可；求出EF=BE=CE，推出∠EFC=∠ECF，推出∠EFG=∠ECG，相减，求出FG=CG，即可得出三角形AGD的周长等于AD+DC+AF，代入求出即可．

解答：解：探究：GF=GC，
理由是：连接CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠ECG=90°，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴∠B=∠AFE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠GFE=180°，
∴∠C=∠GFE，
∵∠EFC=∠ECF，
∴∠GFC=∠GCF，
∴GF=GC．
拓展：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3=AF，
∵AD=4，
∴△AGD的周长是AD+DG+AF=4+DG+AF+FG=4+DG+CG+AF=4+3+3=10．
故答案为：10．

点评：本题考查了矩形性质，平行四边形的性质，等于三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目比较好，综合性比较强．