如图所示.已知△ABC中.AB=AC=10厘米.BC=8厘米.点D为AB的中点． (1)如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动.同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等.经过3秒后.△BPD与△CQP是否全等?请说明理由,②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等.当点Q的运动速度为多少时.能够使△BPD与△CQP全等?②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

分析（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=5，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；
②因为V_P≠V_Q，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4，根据全等得出CQ=BD=5，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）因为V_Q＞V_P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．

解答解：（1）①∵t=3（秒），
∴BP=CQ=3（厘米）
∵AB=10，D为AB中点，
∴BD=5（厘米）
又∵PC=BC-BP=8-3=5（厘米）
∴PC=BD
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD与△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}\\{∠B=∠C}\\{BD=PC}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵V_P≠V_Q，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=5．
∴点P的运动时间t=$\frac{BP}{1}$=4（秒），
此时V_Q=$\frac{CQ}{4}=\frac{5}{4}$=1.25（厘米/秒）．
（2）因为V_Q＞V_P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程
设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得1.25x=x+2×10，
解得x=80（秒），
此时P运动了80×1=80（厘米），
又∵△ABC的周长为28厘米，80=28×2+24，
∴点P、Q在AB边上相遇，即经过了80秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．

点评本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．

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