题目内容
已知，如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A （x1，0），B （x2，0），C （0，-2），其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F（点E在点F的上方），过点E作⊙M的切线交x轴于点N （-6，0），
|x1-x2|=8．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在一点P（不与点D重合），使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，点G为⊙M在第一象限内的任意一点、连结AG的直线l与（1）中的抛物线交于点H，设点H的坐标为（m，n），求AG•AH关于m的函数关系式，并求当m=8时，线段GH的长．
|x1-x2|=8．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在一点P（不与点D重合），使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，点G为⊙M在第一象限内的任意一点、连结AG的直线l与（1）中的抛物线交于点H，设点H的坐标为（m，n），求AG•AH关于m的函数关系式，并求当m=8时，线段GH的长．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）求抛物线解析式需已知3点，现仅知C点，A、B两点虽不明确，但由|x1-x2|=8，可得AB=8．因为E为切点，则连接圆心与切点是对切线题目的常规做法，易得三角形相似性质，设MO=x，EO=y易得关于x，y的方程组，解得即有A、B坐标，则抛物线及顶点坐标易得．
（2）由已确定△ABP与△ADB，即已知对应点，那么∠BAP=∠DAB，由此画图仅得一点P．若此时的△ABP与△ADB相似，那么AB与BP的关系必同AD与DB关系一致，因为AD=BD，所以仅需判断BP是否等于AB即知．
（3）有题干中的AG•AH，不难想到切割线定理，即GH•AH=过点H的切线长的平方，而AH•AG=AH•（AH-GH）=AH2-GH•AH，其中A点固定，H点已知，AH2易求．而切线一般都利用切点与圆心的切线，则易发现恰好构成直角三角形，利用勾股定理易转化“过点H的切线长的平方”，进而可表示函数关系．求得关系由m=8，代入即可，不难推得GH．
（2）由已确定△ABP与△ADB，即已知对应点，那么∠BAP=∠DAB，由此画图仅得一点P．若此时的△ABP与△ADB相似，那么AB与BP的关系必同AD与DB关系一致，因为AD=BD，所以仅需判断BP是否等于AB即知．
（3）有题干中的AG•AH，不难想到切割线定理，即GH•AH=过点H的切线长的平方，而AH•AG=AH•（AH-GH）=AH2-GH•AH，其中A点固定，H点已知，AH2易求．而切线一般都利用切点与圆心的切线，则易发现恰好构成直角三角形，利用勾股定理易转化“过点H的切线长的平方”，进而可表示函数关系．求得关系由m=8，代入即可，不难推得GH．
解答：解：
（1）
如图1，连接ME，记OM=x，EO=y，
∵N （-6，0），|x1-x2|=8，
∴NO=6，AB=8，
∴EM=AM=MB=4．
∵∠ENO=90°-∠NEO=∠MEO，∠NOE=∠EOM=90°，
∴△NEO∽△EM0，
∴
=
，
∴
=
，即y2=6x，
在Rt△EOM中，
∵EO2+OM2=EM2，
∴y2+x2=42=16，
∴x2+6x-16=0，
∴x=2，或x=-8（负值舍去），
∴OM=2，
∴A（-2，0），B（6，0）．
代入A、B、C三点坐标，解得抛物线为y=
x2-
x-2，
∴顶点D（2，-
）．
（2）
如图2，连接AD，BD，作∠PAB=∠DAB交MD于Q，交抛物线于P，
显然Q与D关于x轴对称，即Q（2，
），
设过A（-2，0），Q（2，
）的直线为y=kx+b，
代入坐标，解得直线AQ：y=
x+
，
设P（x，y），则满足
，
解得
（与A重合舍去），或
，
∴P（10，8）．
∵B（6，0），
∴PB2=（xP-xB）2+（yP-yB）2=16+64=80，
∴PB=4
，
∵AB=8，
∴AB≠PB，
∵AD=BD，
∴不存在P点使得△ABP与△ADB相似．
（3）
如图3，过点H作⊙M的切线HI，切点为I，连接MI，HM，
由切割线定理易得GH•AH=HI2，
∵M（2，0），H（m，
m2-
m-2），
∴MH2=（xH-xM）2+（yH-yM）2=（m-2）2+（
m2-
m-2）2，
在Rt△MHI中，
∵MI=4，
∴HI2=MH2-MI2=（m-2）2+（
m2-
m-2）2-16，
∴GH•AH=（m-2）2+（
m2-
m-2）2-16，
∵A（-2，0），
∴AH2=（xH-xA）2+（yH-yA）2=（m+2）2+（
m2-
m-2）2，
∴AH•AG=AH•（AH-GH）=AH2-GH•AH=（m+2）2+（
m2-
m-2）2-[（m-2）2+（
m2-
m-2）2-16]=8m+16，
当m=8时，AG•AH=8•8+16=80．
∵m=8，
∴H（8，
），
∴AH2=（xH-xA）2+（yH-yA）2=（8+2）2+（
-0）2=
，
∴AH=
，
∴AG=
，
∴GH=AH-AG=
．
（1）
如图1，连接ME，记OM=x，EO=y，
∵N （-6，0），|x1-x2|=8，
∴NO=6，AB=8，
∴EM=AM=MB=4．
∵∠ENO=90°-∠NEO=∠MEO，∠NOE=∠EOM=90°，
∴△NEO∽△EM0，
∴
| NO |
| OE |
| EO |
| OM |
∴
| 6 |
| y |
| y |
| x |
在Rt△EOM中，
∵EO2+OM2=EM2，
∴y2+x2=42=16，
∴x2+6x-16=0，
∴x=2，或x=-8（负值舍去），
∴OM=2，
∴A（-2，0），B（6，0）．
代入A、B、C三点坐标，解得抛物线为y=
| 1 |
| 6 |
| 2 |
| 3 |
∴顶点D（2，-
| 8 |
| 3 |
（2）
如图2，连接AD，BD，作∠PAB=∠DAB交MD于Q，交抛物线于P，
显然Q与D关于x轴对称，即Q（2，
| 8 |
| 3 |
设过A（-2，0），Q（2，
| 8 |
| 3 |
代入坐标，解得直线AQ：y=
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
设P（x，y），则满足
|
解得
|
|
∴P（10，8）．
∵B（6，0），
∴PB2=（xP-xB）2+（yP-yB）2=16+64=80，
∴PB=4
| 5 |
∵AB=8，
∴AB≠PB，
∵AD=BD，
∴不存在P点使得△ABP与△ADB相似．
（3）
如图3，过点H作⊙M的切线HI，切点为I，连接MI，HM，
由切割线定理易得GH•AH=HI2，
∵M（2，0），H（m，
| 1 |
| 6 |
| 2 |
| 3 |
∴MH2=（xH-xM）2+（yH-yM）2=（m-2）2+（
| 1 |
| 6 |
| 2 |
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在Rt△MHI中，
∵MI=4，
∴HI2=MH2-MI2=（m-2）2+（
| 1 |
| 6 |
| 2 |
| 3 |
∴GH•AH=（m-2）2+（
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∵A（-2，0），
∴AH2=（xH-xA）2+（yH-yA）2=（m+2）2+（
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| 3 |
∴AH•AG=AH•（AH-GH）=AH2-GH•AH=（m+2）2+（
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| 6 |
| 2 |
| 3 |
当m=8时，AG•AH=8•8+16=80．
∵m=8，
∴H（8，
| 10 |
| 3 |
∴AH2=（xH-xA）2+（yH-yA）2=（8+2）2+（
| 10 |
| 3 |
| 1000 |
| 9 |
∴AH=
10
| ||
| 3 |
∴AG=
12
| ||
| 5 |
∴GH=AH-AG=
14
| ||
| 15 |
点评：本题综合难度较高，计算量也较大，主要考查了三角形相似、抛物线性质、利用勾股定理求坐标系中两点距离及圆与切割线定理等知识，但处理各问的方式属于都属于常规考法，值得学生练习、巩固，综上来说这是一道质量很高的题目．
练习册系列答案
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如果零上5℃可用+5℃表示，那么零下3℃可表示为（ ）
| A、+3℃ | B、-3℃ |
| C、+3 | D、-3 |
已知：△ABC中，AB=4，AC=3，BC=
，则△ABC的面积是（ ）
| 7 |
| A、6 | ||
| B、5 | ||
C、1.5
| ||
D、2
|
某区八年级有3000名学生参加“心理健康知识竞赛”活动．
2013年12月23日，中央办公厅印发《关于培育和践行社会主义核心价值观的意见》，将社会主义24字核心价值观分成3个层面：富强、民主、文明、和谐，是国家层面的价值目标；自由、平等、公正、法治，是社会层面的价值取向；爱国、敬业、诚信、友善，是公民个人层面的价值准则．某校九年级（一）班的数学兴趣小组就“你了解社会主义核心价值观吗？”随机调查了本校部分同学，并对调查结果进行整理，绘制成如图尚不完整的统计图表：