Question

14．已知凸四边形ABCD的面积为3，两对角线相交于点P，△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心分别为M₁、M₂、M₃、M₄，则四边形M₁M₂M₃M₄的面积为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 连接CM₃交DP于点G，连接CM₂交BP于点H，由M₂、M₃分别为△PBC、△PCD的中点可知$\frac{{CM}_{2}}{CH}$=$\frac{{CM}_{3}}{CG}$=$\frac{2}{3}$，GH=$\frac{1}{2}$BD，由此可知△CGH∽△CM₃M₂，故$\frac{{M}_{3}{M}_{2}}{GH}$=$\frac{2}{3}$，所以M₃M₂=$\frac{1}{3}$BD，M₃M₂∥GH，同理可得M₃M₄∥AC，M₁M₄∥BD，M₁M₂∥AC，故四边形M₁M₂M₃M₄的是平行四边形，四边形JKM₂M₃与四边形JKM₁M₄均是平行四边形，设BD=a，△BCD的高是h，则GK=$\frac{1}{3}$a，平行四边形的高是$\frac{1}{3}$h，故S_{平行四边形JKM2M3}=$\frac{2}{9}$S_△BCD，同理可得，S_{平行四边形JKM1M4}=$\frac{2}{9}$S_△ABD，由此可得出结论．

解答 解：如图，连接CM₃交DP于点G，连接CM₂交BP于点H，
∵M₂、M₃分别为△PBC、△PCD的中点，
∴$\frac{{CM}_{2}}{CH}$=$\frac{{CM}_{3}}{CG}$=$\frac{2}{3}$，GH=$\frac{1}{2}$BD，
∴△CGH∽△CM₃M₂，
∴$\frac{{M}_{3}{M}_{2}}{GH}$=$\frac{2}{3}$，M₃M₂=$\frac{1}{3}$BD，M₃M₂∥GH．
同理可得，M₃M₄∥AC，M₁M₄∥BD，M₁M₂∥AC，
∴四边形M₁M₂M₃M₄的是平行四边形，四边形JKM₂M₃与四边形JKM₁M₄均是平行四边形，
设BD=a，△BCD的高是h，则GK=$\frac{1}{3}$a，平行四边形的高是$\frac{1}{3}$h，
∴S_{平行四边形JKM2M3}=$\frac{2}{9}$S_△BCD，同理可得，S_{平行四边形JKM1M4}=$\frac{2}{9}$S_△ABD，
∴S_{平行四边形M1M2M3M4}=$\frac{2}{9}$S_{四边形ABCD}=$\frac{2}{9}$×3=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查的是面积及等级变换，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．