Question

5．已知：如图，∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B．

（1）在图1中，过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，
①依题意补全图形；
②求证：△BCE是等腰直角三角形；
③图1中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是BD+AB=$\sqrt{2}$CB；
（2）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变．
在图2中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是AB-BD=$\sqrt{2}$CB；
在图3中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是BD-AB=$\sqrt{2}$CB；
（3）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=$\sqrt{2}$时，则CB=$\sqrt{3}$-1或$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 （1）①依题意补全图形如图所示，②判断出△CAE≌△CDB，即得结论，③过点C作CE⊥CB，得到∠BCD=∠ACE，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形即可．
（2）①过点C作CE⊥CB于点C，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形；②解题思路同（1）③，过点C作CE⊥CB于点C，得到△ACE≌△DCB，从而确定△ECB为等腰直角三角形；
（3）由（1）③，得△ACE≌△BCD，CE=BC，得到△BCE为等腰直角三角形，得到BD=$\sqrt{2}$BH=$\sqrt{2}$，求出BH，再用勾股定理即可．

解答 解：（1）①依题意补全图形如下图，

②证明：
∵∠ACD=90°，
又∵CE⊥CB，
∴∠ECB=90°=∠ACD，

∴∠1=∠2．
∵DB⊥MN于点B，
∴∠ABD=90°，
∴∠BAC+∠D=180°．
又∵∠BAC+∠EAC=180°，
∴∠D=∠EAC．
∴△CAE≌△CDB，
∴CE=CB．
③如图（1），

过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN
∴∠ABC+∠CBD=90°，
∵CE⊥CB
∴∠ABC+∠CEA=90°，
∴∠CBD=∠CEA．
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB（AAS），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB．
又∵BE=AE+AB，
∴BE=BD+AB，
∴BD+AB=$\sqrt{2}$CB，
故答案为BD+AB=$\sqrt{2}$CB
（2）①如图（2），

过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，∠ECB=90°，
∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠ACE}\\{AC=DC}\\{∠CAE=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB．
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=$\sqrt{2}$CB．
②BD-AB=$\sqrt{2}$CB．
如图（3），

过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，∠BCE=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠ACE}\\{AC=DC}\\{∠CAE=∠D}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$CB．
又∵BE=AE-AB，
∴BE=BD-AB，
∴BD-AB=$\sqrt{2}$CB．
故答案为AB-BD=$\sqrt{2}$CB和BD-AB=$\sqrt{2}$CB．
（3）①如图4，

由（1）③，得△ACE≌△BCD，CE=BC，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°=∠CBE=∠DBC，
过点D作DH⊥BC，
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}$BH=$\sqrt{2}$，
∴BH=DH=1，
在Rt△CDH中，∠BCD=30°，BH=1，
∴CH=$\sqrt{3}$，
∴BC=CH+BH=$\sqrt{3}$+1；
②如图5，过点D作DH⊥BC交CB的延长线与H，

同①的方法，得，CH=$\sqrt{3}$，BH=1，
∴BC=CH-BH=$\sqrt{3}$-1．
故答案为$\sqrt{3}-1$或$\sqrt{3}+1$．

点评 本题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等．解本题的关键是作出辅助线．