Question

6．已知二次函数y=-2x²+bx+c图象的顶点坐标为（3，8），该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点．
（1）不等式b+2c+8≥0是否成立？请说明理由；
（2）设S是△AMO的面积，求满足S=9的所有点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可知抛物线的解析式为y=-2（x-3）²+8，由此求出b、c即可解决问题．
（2）设M（m，n），由题意$\frac{1}{2}$•3•|n|=9，可得n=±6，分两种情形列出方程求出m的值即可；

解答 解：（1）由题意抛物线的顶点坐标（3，8），
∴抛物线的解析式为y=-2（x-3）²+8=-2x²+12x-10，
∴b=12，c=-10，
∴b+2c+8=12-20+8=0，
∴不等式b+2c+8≥0成立．

（2）设M（m，n），
由题意$\frac{1}{2}$•3•|n|=9，
∴n=±6，
①当n=6时，6=-2m²+12m-10，
解得m=2或4，
②当n=-6时，-6=-2m²+12m-10，
解得m=3±$\sqrt{7}$，
∴满足条件的点M的坐标为（2，6）或（4，6）或（3+$\sqrt{7}$，-6）或（3-$\sqrt{7}$，-6）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的三种形式，学会利用参数构建方程解决问题．