Question

11．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；
（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；
（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C，AB=BC．
∵AE⊥BF，
∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠ABM+∠CBF=90°，
∴∠BAM=∠CBF．
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBF}\\{AB=CB}\\{∠ABE=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF；
（2）解：AE=$\frac{2}{3}$BF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C，
∵AE⊥BF，
∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠ABM+∠CBF=90°，
∴∠BAM=∠CBF，
∴△ABE∽△BCF，
∴$\frac{AE}{BF}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴AE=$\frac{2}{3}$BF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．