Question

20．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC相交于点D，且CD=2，BC=4，
（1）求⊙O的半径；
（2）连接AD并延长，交BC于点E，取BE的中点F，连接DF，试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设⊙O的半径为R，由切线的性质得出∠OBC=90°，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）连接BD，由等腰三角形的性质得出∠OBD=∠ODB，由圆周角定理得出∠ADB=90°，求出∠BDE=90°，由直角三角形的性质得出DF=$\frac{1}{2}$BE=BF，得出∠DBF=∠BDF，证出∠BDF+∠ODB=90°，即可得出结论．

解答 解：（1）设⊙O的半径为R，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴OB²+BC²=OC²，
即R²+4²=（R+2）²，
解得：R=3，
即⊙O的半径为3；
（2）DF与⊙O相切；理由如下：
如图所示：连接BD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE=90°，
∵F是BE的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$BE=BF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DBF+∠OBD=90°，
∴∠BDF+∠ODB=90°，
∴DF⊥OD，
∴DF与⊙O相切．

点评 本题考查了切线的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解决问题的突破口．