如图.在Rt△ABC中.∠ABC=90°.BA=BC.点D是AB的中点.连结CD.过点B作BG⊥CD.分别交CD.CA于点E.F.与过点A且垂直于AB的直线相交于点G.连结DF．给出以下四个结论:①$\frac{AG}{AB}=\frac{FG}{FB}$,②FG=$\frac{1}{2}$FB,③AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}AB$,④S△ABC=5S△BDF.其中正确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D是AB的中点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①$\frac{AG}{AB}=\frac{FG}{FB}$；②FG=$\frac{1}{2}$FB；③AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}AB$；④S_△ABC=5S_△BDF，其中正确结论的序号是①②③．

分析根据同角的余角相等求出∠ABG=∠BCD，然后利用“角边角”证明△ABC和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=BD，然后求出AG=$\frac{1}{2}$BC，再求出△AFG和△CFB相似，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{AG}{AB}$=$\frac{FG}{FB}$，从而判断出①正确；由AG=$\frac{1}{2}$BC，所以FG=$\frac{1}{2}$FB，故②正确；根据相似三角形对应边成比例求出$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，再根据等腰直角三角形的性质可得AC=$\sqrt{2}$AB，然后整理即可得到AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB，判断出③正确；过点F作MF⊥AB于M，根据三角形的面积整理即可判断出④错误．

解答解：∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCD+∠CBG=90°，
∴∠ABG=∠BCD，
在△ABC和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠BCD}\\{AB=BC}\\{∠BAG=∠CBD=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，
∵点D是AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AG=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴$\frac{AG}{CB}=\frac{FG}{FB}$，
∵BA=BC，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{FG}{FB}$，
故①正确；
∵△AFG∽△CFB，
∴$\frac{GF}{BF}=\frac{AG}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴FG=$\frac{1}{2}$FB，
故②正确；
∵△AFG∽△CFB，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AG}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴AF=$\frac{1}{3}$AC，
∵AC=$\sqrt{2}$AB，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB，故③正确；
过点F作MF⊥AB于M，则FM∥CB，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{FM}{BC}=\frac{1}{3}$，
∵$\frac{BD}{BA}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S△BDF}{S△ABC}$=$\frac{\frac{1}{2}BD•FM}{\frac{1}{2}AB•BC}$=$\frac{BD}{AB}•\frac{FM}{BC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，故④错误．
故答案为：①②③．