Question

16．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（1，0）．
（1）当b=2，c=-3时，求二次函数的解析式及二次函数最小值；
（2）二次函数的图象经过点B（m，e），C（3-m，e）．
①求该二次函数图象的对称轴；
②若对任意实数x，函数值y都不小于$\frac{1}{4a}$-$\frac{1}{2}$，求此时二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法以及配方法即可解决问题．
（2）①根据对称性B、C关于对称轴对称，即可解决问题．
②首先求出b、c（用a表示），想办法列出不等式即可解决问题．

解答 解：（1）将b=2，c=-3代入得：y=ax²+2x-3．
将x=1，y=0代入，a+2-3=0，
∴a=1．
∴y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴当x=-1时，y最小值为-4．
（2）①由题意可知：对称轴x=$\frac{m+3-m}{2}$=$\frac{3}{2}$．
②∵-$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴b=-3a，又∵a+b+c=0，
∴c=2a，
∴y=ax²-3ax+2a
顶点纵坐标为$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{-{a}^{2}}{4a}$，
∵函数值不小于$\frac{1}{4a}$-$\frac{1}{2}$，
∴a＞0，且-$\frac{{a}^{2}}{4a}$≥$\frac{1}{4a}$-$\frac{1}{2}$，
∴a²-2a+1≤0，
∴（a-1）²≤0，
∵（a-1）²≥0，
∴a-1=0，
∴a=1．

点评 本题考查待定系数法、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．