Question

5．如图（1），抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C（0，-3）
（1）如图（1），P为线段BC上的动点．过P作x轴的垂线，交抛物线与Q点．求PQ长度的最值．
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线y=x²-2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法先确定出抛物线解析式，再建立PQ函数解析式即可得出PQ极值；
（2）先建立S_{四边形ABDC}=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，函数关系式，即可确定出点D坐标；
（3）分两种情况用直线函数解析式和抛物线解析式联立即可确定出点D的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C（0，-3），
∴k=-3，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为y=x-3，
设P（m，m-3）（0≤m≤3），
∴Q（m，m²-2m-3），
∴PQ=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，PQ长度的最大值为$\frac{9}{4}$，当m=0或m=3时，PQ长度的最小值为0；
（2）如图2，∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴AB=4，OC=3，
设P（m，m-3）（0≤m≤3），
∴D（m，m²-2m-3），
∴PD=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m，
∴S_{四边形ABDC}=S_△ABC+S_△CDP+S_△BDP=$\frac{1}{2}$AB×OC+$\frac{1}{2}$PD×|x_B|=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S_{四边形ABDC最大}=$\frac{75}{8}$，此时，点D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（3）由（1）知，直线BC解析式为y=x-3，
∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．
∴BQ⊥BC或CQ⊥BC，
当BQ⊥BC时，直线BQ的解析式为y=-x+3①，
由（1）知，抛物线解析式为y=x²-2x-3②，
联立①②得，Q（-2，5），
当CQ⊥BC时，直线CQ的解析式为y=-x-3③，
联立②③得，Q（1，-4），
∴满足条件的点P的坐标为（-2，5）或（1，-4）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积公式，直角三角形的性质，解本题的关键是建立函数解析式，是一道比较简单中考常考题．