Question

15．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的作直线EF⊥BD分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．求证：四边形BFDE为菱形．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．

解答 证明：∵在?ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDO=∠FBO}\\{OD=OB}\\{∠EOD=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF是解题关键．