题目内容

如图所示，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于E，交AB的延长线于点F，BF=4．
（1）求证：△EFO∽△AFD，并求 $数学公式$ 的值；
（2）求cos∠F的值；
（3）求线段BE的长．

解：（1）易知∠OEF=∠FAD=90°，而∠F=∠F，
故△EFO∽△AFD，
所以 $\text{[math]}$ ，
而EO=AO= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ AD，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）由△OEF∽△DAF，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即AF=2EF，又EF²=FB•FA=BF•2EF，
∴EF=2BF=8，AF=2EF=16，
∴AB=AF-BF=12，
FO= $\text{[math]}$ AB+BF=10．
cos∠F= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3）由△BEF∽△EAF，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
设BE=k，则AE=2k，
由AE²+BE²=AB²，得
（2k）²+k²=12²，
解得k= $\text{[math]}$ ，
故BE= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先证明△EFO∽△AFD，然后根据相似三角形的对应边成比例得到 $\text{[math]}$ ；
（2）解答此题的关键是由△OEF∽△DAF得出AF=2EF，再根据此数值求出EF和FO，然后即可求出cos∠F；
（3）由△BEF∽△EAF，设BE=k，则AE=2k，即可求得BE．
点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质以及锐角三角函数的定义等知识点．解题的关键在于根据已知条件找到相似三角形．