Question

已知正方形ABCD的边长为2，点P是BC上的一点，将△DCP沿DP折叠至△DPQ，若DQ，DP恰好与如图所示的以正方形ABCD的中心O为圆心的⊙O相切，则折痕DP的长为（　　）

• A．

  2

  3

  3

• B．

  4

  3

  3

• C．

  2

  3

  5

• D．

  4

  3

  5

Answer 1

分析：首先连接OD，由正方形的性质，切线长定理与折叠的性质，易求得∠CDP=∠PDQ=∠ADQ=

1

3

∠ADC=30°，然后由勾股定理，易求得CP的长，继而可求得答案．

解答：解：连接OD，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠ADO=∠CDO，
又∵DQ与DP都为圆O的切线，
∴DO平分∠PDQ，即∠PDO=∠QDO，
∴∠ADO-∠QDO=∠CDO-∠PDO，即∠ADQ=∠CDP，
又∵将△DCP沿DP折叠至△DPQ，
∴∠CDP=∠PDQ，
∴∠CDP=∠PDQ=∠ADQ=

1

3

∠ADC=30°，
在Rt△PCD中，设CP=x，则DP=2x，CD=2，
根据勾股定理得：DP²=CD²+CP²，即4x²=x²+2²，
解得：x=

2

3

3

，
∴DP=2x=

4

3

3

．
故选B．

点评：此题考查了切线的性质、正方形的性质、折叠的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．