Question

9．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E．
（1）若∠ADC+∠ABC=180°，求证：AD+AB=2AE；
（2）若AD+AB=2AE，求证：CD=CB．

Answer 1

分析 （1）延长AB到点M，使AE=ME．由线段垂直平分线的性质可知AC=CM，从而可得到∠2=∠3，然后由同角的补角相等可知∠ADC=∠CBM，从而可证明△ADC≌△MBC，从而可证得AD+AB=2AE；
（2）延长AB到点M，使BM=AD．然后证明△ADC≌△MBC，由全等三角形的性质可知：CD=CB．

解答 解（1）如图1．延长AB到点M，使AE=ME．

∵AE=EM，CE⊥AB，
∴AC=CM．
∴∠2=∠3．
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠3．
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠ADC=∠CBM．
在△ADC和△MBC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠ADC=∠MBC}\\{AC=MC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△MBC．
∴AD=BM．
∴AM=2AE=AB+BM=AB+AD，即AB+AD=2AE．
（2）如图2所示，延长AB到点M，使BM=AD．

∵2AE=AB+AD=AB+BM=AM，
∴AE=ME．
又∵CE⊥AM，
∴AC=MC．
∴∠2=∠3．
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠3．
在△ADC和△MBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BM}\\{∠1=∠3}\\{AC=MC}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△MBC．
∴CD=CB．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法，证得△ADC≌△MBC是解题的关键．