Question

如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，AO，BO相交于点O，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D，AC=BC，求证：AE=BD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：作OF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得OE=OF，OE=OD，从而得到OE=OD，再根据等边对等角可得∠ABC=∠BAC，根据角平分线的定义求出∠OAE=∠OBD，然后利用“角角边”证明△AOE和△BOD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BD．

解答：证明：如图，作OF⊥AB于F，
∵AO平分∠BAC，OE⊥AC，
∴OE=OF，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OF=OD，
∴OE=OD，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，
∴∠OAE=∠OBD，
在△AOE和△BOD中，

∠OAE=∠OBD ∠AEO=∠BDO=90° OE=OD

，
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴AE=BD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰三角形三线的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法并确定出三角形全等的条件是解题的关键．