Question

3．已知点A，B，C都在⊙O上，且AB=AC，圆心O到BC的距离为6cm，圆的半径为14cm，求AB的长．

Answer 1

分析 此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长．

解答 解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长到BC于点D，
∵AB=AC，O为外心，
∴AD⊥BC，
在Rt△BOD中，
∵OB=14，OD=6，
∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{4}^{2}-{6}^{2}}$=4$\sqrt{10}$．
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{10}）^{2}+2{0}^{2}}$=4$\sqrt{35}$（cm）；
如图2，当△ABC是钝角三角形时，连接AO交BC于点D，
同理得：BD=4$\sqrt{10}$．
∴AD=14-6=8，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+（4\sqrt{10}）^{2}}$=4$\sqrt{14}$（cm）．
综上所述，AB的长是4$\sqrt{35}$cm或4$\sqrt{14}$cm．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质、垂径定理和勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．