Question

12．已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，那么$\overrightarrow{FD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$ （用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的式子表示）

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质及中点的定义得BC∥AD、BC=AD=2EC，再证△ADF∽△CEF得$\frac{AF}{AC}$=$\frac{2}{3}$，根据$\overrightarrow{FD}$=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$）可得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E是边BC的中点，
∴BC∥AD，BC=AD=2EC，
∴△ADF∽△CEF，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{AD}{EC}$=2，
则$\frac{AF}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{FD}$=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AF}$
=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$
=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$）
=$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）
=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$．

点评 本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质及向量的基本运算，熟练掌握向量的运算法则是解题的关键．